结论概览：

  1. 在无1溢出的情况下，左移（或右移）运算等价于乘以（或除以）2y2^y（yy为移动位数，且不使得原数完全移出）；
  2. 在有1溢出的情况下，右移运算等价于整除。

一 移位运算符的含义

  移位运算符包含左移运算符<<和右移运算符>>。左移运算符是将一个二进制位的操作数按规定的移动位数向左移动，移出位舍弃，空位补0。右移运算符是将一个二进制位的操作数按规定的移动位数向右移动，移出位舍弃，正数补0，负数补1。它们是这样参与运算的：

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操作数 移位运算符 移位位数

  例如：

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#include <stdio.h>

int main()
{
	short a = 4;
	a <<= 2;
	return 0;
}

  变量a被赋值4，换算为二进制数即0000 0000 0000 0100，左移2位后即0000 0000 0001 0000。

二 移位运算符的实质

  移位运算符实际上更改了数值对应的权重。在无1溢出的情况下，设原来的权重是2x\mathbf{2}^\mathbf{x}，移动位数为y（不使得原数完全移出），则权重更改的结果是2x±y\mathbf{2}^{\mathbf{x \pm y}}（左移为加，右移为减）。

  例如上例中数值1的权重是222^2，移位后更改为22+22^{2+2}。对每一位都执行移位的运算（以左移为例），那么在无1溢出的情况下（因而该二进制数的最高位一定为0，所以这里有符号数和无符号数没有区别），对二进制数b15b14...b1b0b_{15}b_{14}...b_1b_0有：

b15b14...b1b0<<y=215b15+214b14+...+21b1+20b0<<y=215b15−y+214b14−y+...+2yb0+2y−1×0+...+21×0+20×0=2y(215−yb15−y+214−yb14−y+...+21b1+20b0)=2yb15b14...b1b0\begin{aligned} b_{15}b_{14}...b_1b_0 << y & = 2^{15}b_{15} + 2^{14}b_{14} + ... + 2^1b_1 + 2^0b_0 << y\\ & = 2^{15}b_{15-y} + 2^{14}b_{14-y} + ... + 2^yb_0 + 2^{y-1}×0 + ... + 2^1×0 + 2^0×0\\ & = 2^y(2^{15-y}b_{15-y} + 2^{14-y}b_{14-y} + ... + 2^1b_1 + 2^0b_0)\\ & = 2^yb_{15}b_{14}...b_1b_0\\ \end{aligned}

  请注意，以上计算建立在无1溢出的情况下，亦即b15b14...b15−y+1b_{15}b_{14}...b_{15-y+1}每一位都为0。

  因此，在无1\mathbf{1}溢出的情况下，左移（或右移）运算等价于乘以（或除以）2y2^y（yy为移动位数，且不使得原数完全移出）。
  那么在有1溢出的情况下呢？因为左移运算结果具有个体差异性（如正负不确定），因此这里不予讨论。而对于右移运算，它的运算结果的符号总是不变，我们不妨对其进行以下测试：

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#include <stdio.h>

int main()
{
	short b = 5;
	b >>= 1;
	short c = -5;
	c >>= 1;
	printf("%hd\n%hd\n", b, c); //结果是2 -3
	return 0;
}

  变量b被赋值5，换算为二进制数，即0000 0000 0000 0101，右移1位后，末位的1被舍弃，即0000 0000 0000 0010，亦即2。换而言之，在除以2以后，右移运算使得不足2的部分被舍弃，也就是余数被舍弃。因此，对于非负数而言，右移运算等价于整除。
  变量c被赋值-5，换算为二进制数，即1000 0000 0000 0101，负数在内存中以补码的形式存储（为什么？），即1111 1111 1111 1011，右移1位后，末位的1被舍弃，即1111 1111 1111 1101，其原码为1000 0000 0000 0011，即-3。因此，对于负数而言，右移运算也等价于整除。

  请注意，对于需要求余数的除法而言，总是需要保证余数是正数，例如(−5)÷2=−3⋯⋯1(-5)\div2=-3\cdots\cdots1。因此，该式整除结果是-3。

如果对负数的右移仍存疑，以下推算可能有帮助。
  以短整型（16位）为例。对二进制数b15b14...b1b0b_{15}b_{14}...b_1b_0（其中b15=1b_{15} = 1，且其余位不全为0），记其十进制值

D=−(214b14+213b13+...+21b1+20b0)D = -(2^{14}b_{14} + 2^{13}b_{13} + ... + 2^1b_1 + 2^0b_0)

  那么它的补码的十进制值为

d=216−(−D)=216+D=216−(214b14+213b13+...+21b1+20b0)d = 2^{16} - (-D) = 2^{16} + D = 2^{16} - (2^{14}b_{14} + 2^{13}b_{13} + ... + 2^1b_1 + 2^0b_0)

  记其二进制数为c15c14...c1c0c_{15}c_{14}...c_1c_0（其中c15=1c_{15} = 1，且其余位不全为1），则

d=−(214c14+213c13+...+21c1+20c0)d = -(2^{14}c_{14} + 2^{13}c_{13} + ... + 2^1c_1 + 2^0c_0)

  设右移位数为yy（不使得原数完全移出），则右移后二进制数变为111...1c14c13...cy+1cy111...1c_{14}c_{13}...c_{y+1}c_y，其十进制值

d0=−(214+213+...+214−y+1+214−yc14+213−yc13+...+21cy+1+20cy)=−(215−215−y+214−yc14+213−yc13+...+21cy+1+20cy)\begin{aligned} d_0 & = -(2^{14} + 2^{13} + ... + 2^{14-y+1} + 2^{14-y}c_{14} + 2^{13-y}c_{13} + ... + 2^1c_{y+1} + 2^0c_y)\\ & = -(2^{15} - 2^{15-y} + 2^{14-y}c_{14} + 2^{13-y}c_{13} + ... + 2^1c_{y+1} + 2^0c_y) \end{aligned}

  则移位后的原码的十进制值是

D0=216−(−d0)=216+d0=216−(215−215−y+214−yc14+213−yc13+...+21cy+1+20cy)=216−215+215−y−2−y(214c14+213c13+...+2y+1cy+1+2ycy)=215+215−y+2−y(d+2y−1cy−1+2y−2cy−2+...+21c1+20c0)\begin{aligned} D_0 & = 2^{16} - (-d_0)\\ & = 2^{16} + d_0\\ & = 2^{16} - (2^{15} - 2^{15-y} + 2^{14-y}c_{14} + 2^{13-y}c_{13} + ... + 2^1c_{y+1} + 2^0c_y)\\ & = 2^{16} - 2^{15} + 2^{15-y} - 2^{-y}(2^{14}c_{14} + 2^{13}c_{13} + ... + 2^{y+1}c_{y+1} + 2^yc_y)\\ & = 2^{15} + 2^{15-y} + 2^{-y}(d + 2^{y-1}c_{y-1} + 2^{y-2}c_{y-2} + ... + 2^1c_1 + 2^0c_0) \end{aligned}

  如果将二进制数cy−1cy−2...c1c0c_{y-1}c_{y-2}...c_1c_0的十进制值记为d1d_1（注意该二进制的符号始终为负），那么有

d1=−(2y−1cy−1+2y−2cy−2+...+21c1+20c0)d_1 = -(2^{y-1}c_{y-1} + 2^{y-2}c_{y-2} + ... + 2^1c_1 + 2^0c_0)

  因此

D0=215+215−y+2−y(d+d1)=215+215−y+2−y(216+D+d1)=216−y+215+215−y+2−yD+2−yd1\begin{aligned} D_0 & = 2^{15} + 2^{15-y} + 2^{-y}(d + d_1)\\ & = 2^{15} + 2^{15-y} + 2^{-y}(2^{16} + D + d_1)\\ & = 2^{16-y} + 2^{15} + 2^{15-y} + 2^{-y}D + 2^{-y}d_1 \end{aligned}

  那么

D=2y(D0−216−y−215−215−y+2−yd1)D = 2^y(D_0 - 2^{16-y} - 2^{15} - 2^{15-y} + 2^{-y}d_1)

  所以

DD0=2y+−216−215+y−215+d1D0\frac{D}{D_0} = 2^y + \frac{-2^{16} - 2^{15+y} - 2^{15} + d_1}{D_0}

  根据计数可溢出的性质（是什么？），当d1d_1加或减2x2^x（x>yx>y且为整数），其值不改变。因此得移位前后原码的关系

DD0=2y+d1D0\frac{D}{D_0} = 2^y + \frac{d_1}{D_0}

  亦即

D0=D−d12yD_0 = \frac{D - d_1}{2^y}

  其中，D0D_0是移出后原码，DD是移出前原码，d1d_1是移出的原码对应的补码，yy是右移位数，且其取值不使得原数完全移出。

检验这个结果

  • 对于-5 >> 1：-5的二进制数是1000 0000 0000 0101，右移1位后，移出的原码是1，对应的补码是1，那么得到移出后

−5−121=−3\frac{-5-1}{2^1} = -3

  • 对于-4 >> 2：-4的二进制数是1000 0000 0000 0100，右移2位后，移出的原码是00，对应的补码是00，那么得到移出后

−4−022=−1\frac{-4-0}{2^2} = -1

  • 对于-11 >> 3：-11的二进制数是1000 0000 0000 1011，右移3位后，移出的原码是011，对应的补码是101，那么得到移出后

−11−523=−2\frac{-11-5}{2^3} = -2

通过尝试运行程序检验以上结果。